几何学中最伟大的发明之一——流形

发布时间：2023-04-18 10:11:08 所属栏目：动态来源：

导读：流形（manifold）是一种数学概念，它描述了在局部看起来像欧几里得空间（平面或者空间）的拓扑空间。换句话说，流形是一个在局部区域内可以近似是 Euler空间的范围。

流形的一个关键特性是它们可以被局部地赋予坐

流形（manifold）是一种数学概念，它描述了在局部看起来像欧几里得空间（平面或者空间）的拓扑空间。换句话说，流形是一个在局部区域内可以近似是 Euler空间的范围。

流形的一个关键特性是它们可以被局部地赋予坐标系统。这使得我们可以使用微分和积分等数学工具在流形上进行计算。在物理学中，流形的概念被用于描述空间和时间的结构。例如，在广义相对论中，时空被建模为一个四维的弯曲流形。

沿任何方向行进，你会在这个方向上离起点越来越远，但沿相反方向行进，你会回到起点。
两点之间的最短路径是一条直线。

局部欧几里得空间
在许多情况下，我们可以通过将欧几里得空间划分成较小的区域，然后将这些小区域近似为欧几里得空间（平坦空间）来简化问题。例如，在城市尺度下观察地球表面时，地球表面看似相当平坦，尽管实际上它是一个球面。如果一个空间在所有点上都能被欧几里得空间近似，那么我们就说它是局部欧几里得空间。

开局的概念来自拓扑学，它有助于我们更简单地处理空间中的邻域问题。这里我们提到的如下三条不同的规则相互作用是如何定义开基的基本模型的性质。

当我们说某物是“局部 X”，我们的意思是我们总是可以在空间中找到一个点的邻域，其中 X 适用（无论我们选择什么点）。在流形的情况下，这意味着我们可以观察流形的各种连续区域，而不是试图一次考虑整个流形。

局部欧几里得是指在一个空间中，对于任何一个点，我们都可以找到一个包含该点的邻域，在这个邻域内，空间的性质近似于欧几里得空间。换句话说，在局部范围内，这个空间可以看作是平坦的或与欧几里得空间相似。因此，我们可以取流形的一部分，通过“将其展平”使其成为欧几里得，然后对其数据进行类似于欧几里得函数的操作。

正式地讲，一个图表是从一个流形的开子集映射到欧几里得空间的开子集。这里，“开集”指的是拓扑学中所常见的开集。换句话说，创建一个大规模图表需要计算机告诉你它为什么试图将哪个区域尽可能快的展平以及如何尽可能快的展平它。

为了描述一个流形，我们需要使用一组图表来覆盖整个流形。每个图表都是一个从流形的一部分映射到欧几里得空间的函数。通过将许多这样的图表组合在一起，我们可以复盖整个流形。这就是图集的概念，它是指一组图表，这组图表覆盖了整个流形。因此，为了描述整个流形，我们需要至少有一个图表覆盖每个点，并且这些图表一起构成一个图集。

（编辑：汽车网）

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