希尔伯特的博士论文-代数中的固定元素

发布时间：2023-07-31 14:03:10 所属栏目：外闻来源：

导读：大卫·希尔伯特（1862 ~ 1943年）是德国数学家，他的知识涉及到了数学的各个领域。例如，在分析学领域，他提出了“希尔伯特空间”的概念；在近似理论领域，他引入了希尔伯特矩阵的思想；他推动了辐射

大卫·希尔伯特（1862 ~ 1943年）是德国数学家，他的知识涉及到了数学的各个领域。例如，在分析学领域，他提出了“希尔伯特空间”的概念；在近似理论领域，他引入了希尔伯特矩阵的思想；他推动了辐射物理学、气体运动论和广义相对论等领域的发展；他还对代数数论、代数不变量、交换代数和变量分析学作出了重要贡献。

他证明的定理包括希尔伯特基定理（Hilbert’s Basis Theorem）、希尔伯特零点定理（Hilbert’s Nullstellensatz）、希尔伯特定理90（Hilbert’s Satz 90）和希尔伯特的不可约定理（Hilbert’s irreducibility theorem）。

希尔伯特早年就读于柯尼斯堡大学，他的导师是海因里希·弗里德里希·韦——那所大学唯一的数学正教授。另外，他在大学期间与赫曼明可夫斯基结下了深厚的友谊。他们的友谊对彼此后来的研究产生了很大的影响。

希尔伯特于1885年在费迪南德·冯·林德曼的指导下完成了他的博士论文，论文题目为“关于特殊二元形式的不变性质，特别是球面调和函数”。

起初，伯克希尔想研究的是零分数的泛化。导师林德曼告诉他，卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅各比已经成功地提出了这样的概念。林德曼建议他研究一个比较现代的问题，即“代数不变量理论”。

代数不变量理论源于17世纪笛卡尔提出的解析几何。比如横坐标和纵坐标是实数，分别用x和y表示。几何体可以从数学方程得到，反过来代数方程也能映射到几何体。

林德曼建议，伯克希尔的博士论文应该揭示某些代数形式的普遍性问题。这对任何一个博士来说都是一个挑战，除了希尔伯特。

希尔伯特在1885年通过公开答辩他的两篇论文，获得了哲学博士学位。一篇是关于用实验方法确定绝对电磁电阻的，另一个是关于哲学的。

希尔伯特博士毕业后，他去欧洲结识了其他伟大的数学家。他在莱比锡遇到了菲利克斯·克莱因，在巴黎遇到了亨利庞加莱，在柏林遇到了利奥波德·克罗内克。

后来，他回到柯尼斯堡大学，成为一名无薪讲师。他的生活依赖于常听他讲课的学生的赞助。1892年，他取代了阿道夫·赫维茨成为了助理教授。

几年后，他被聘为阿根廷大学的正教授。随后，他带着妻子和孩子搬到了哥根廷，并在那里度过了余生。

通过研究代数不变量理论，他在1888年证明了著名的有限性原理（Finiteness Theorem）。保罗·哥尔丹试图用一些计算技术证明二元系统的相同定理。对于两个以上变量的定理，由于计算繁琐，当时还没有得到推广。

希尔伯特以一种完全不同的方式得出了这个证明，并证明了希尔伯特的基本定理，该定理表明：

希尔伯特将他的研究结果提交给了《数学年鉴》杂志。但是，哥尔丹没有认识到希尔伯特这一杰作的重要性，并拒绝出版希尔伯特的文章，他说：“这不是数学。这是神学”。

克莱因非常欣赏伯克希尔的文章并认为可以出版，他还强烈鼓励澳大利亚的希尔伯特将这一发现方法进一步扩展到更普遍的方式，并再次提交。克莱因说：

当希尔伯特实验方法几乎无可争议出乎意料的地迅速得到全世界的绝大多数人的赞赏时，哥尔丹说：“我已经确信，即使是神学也有它的优点。”

（编辑：汽车网）

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