束缚在一点的粒子却有无穷大的速度？《张朝阳的物理课》验证不确定性关系

发布时间：2023-03-14 09:14:30 所属栏目：动态来源：

导读：解薛定谔方程的数学技巧中蕴藏着怎样的物理原理？为何被束缚在一点的粒子会瞬间弥散？一个可以真实存在的高斯波包如何自由地演化？

在上一次的直播课中，张朝阳从解偏微分方程（Partial Differential Equation，P

解薛定谔方程的数学技巧中蕴藏着怎样的物理原理？为何被束缚在一点的粒子会瞬间弥散？一个可以真实存在的高斯波包如何自由地演化？

在上一次的直播课中，张朝阳从解偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）的角度重新回顾量子力学薛定谔方程。

并用分离变量法和格林函数法给出了粒子不受力，即V(x) = 0时，自由粒子薛定谔方程的解的一般形式

这里f(y)是初始时刻粒子的波函数，Φ(t,x-y)被称为格林函数或者传播子，描述了初始时候在y点处的一个小波包随时间t的演化过程。承接上一节课的内容，张朝阳将在本次课程中，与各位观众一起继续深入探索薛定谔方程所描述的、随着时间推移和渐变的动态变化,微观粒子的物理动态。

本次直播课程开始时，张朝阳首先回顾了在物理问题中引入负数带来的影响。从物理的角度来说，它带来了量子力学的概率诠释，在物理化学和生命科学领域取得巨大成功；从数学的角度来说，它要求我们重新审视经典偏微分方程各种方法的合理性。

在a取到虚数时的正确性。为了让各位观众能够更好地理解其中的关键点，张朝阳重新整理了上节课中对高斯积分的求解过程，补充了从积分问题转化到几何问题过程中的细节。利用高斯积分，张朝阳计算得知初始时刻一个被束缚在原点处的粒子——用狄拉克函数δ(x)表示，将在地下室的一瞬间感受到均匀无比的弥散到我们整个家庭的空间。

也就是说，当一个自由粒子的动量确定的时候，它的能量也随之确定，这一点和我们从经典力学中学到的物理规律是一致的。有了这些准备之后，让我们再回头看系数的计算。现在我们就理解了，这个关于系数计算的数学表达式描述了这样一件事：空间上的一个分布的波函数，它本身的动量或能量的取值都是不确定的，它本身即是由多个对应着不同确定的动量或能量（以不同k值区分）的波函数，以系数f(y)作线性叠加而来。这样，我们就用量子力学波函数叠加原理看到了数学计算的具体意义。张朝阳指出，事实上在量子力学中一般会记c_k = φ(k)，表示它是动量空间（k空间）上的一个函数。它和坐标空间上的函数f(x)是一一对应的，相互之间通过傅里叶变换相互转化。

从动量空间的角度，在初始时刻，这个粒子的波函数是由动量从负无穷到正无穷所有可能的取值对应的波函数叠加而来的，而且取到不同动量的可能性是均等的。张朝阳解释，根据不确定性原理，因为初始时刻我们精确知道了粒子处在某一点上，所以我们理应得不到关于动量的任何信息。无穷大的动量意味着无穷大的速度，只要经过任意小的时间，比如0.000000....1s，它都有可能跑到世界上的任意一个角落——哪怕它在无穷远的天涯。所以开始演化之后，在任意地方找到粒子的概率都是相等的。关于无限大的速度，张朝阳评述，这是薛定谔直接从牛顿力学引入量子力学造成的结果。在薛定谔提出他著名的方程的时候，并没有引入任何关于相对论的考虑，所以它无视了现在我们熟知的光速最大原理，目前也是可以接受的。

在对狄拉克δ波包的分析中出现了无穷大的速度，说明这个模型并不是一个非常真实的物理模型。为了更好地理解微观粒子的自由演化和不确定性原理在其中起到的作用，张朝阳提出可以再看一个再相对真实、但是处理起来又不过于复杂的初始波函数。它是一个高斯波包（Gaussian wave packet）：

高斯分布意味着，虽然这个粒子是所有可能的能量或动量本征函数叠加的结果，但是其中起主导作用的仅仅是围绕在原点附近的少许部分。

张朝阳将其与之前分析的δ函数在图像上做了一个对比，可以清晰地看出两者之间的区别。现在来描述这个主导部分的多少，也就是波包的宽度。在物理上，我们用方均根表征这个量，它的定义是对应一个物理量X：

得到的高斯积分的参数既有实部也有虚部，而且实部a>0。这个积分是自然收敛的，不需要引入上一节课的技巧来重新证明它的结果。

可以看到在动量空间，这个波包的展宽随着时间的推移在逐渐变大，换而言之，一个高斯波包在演化中会逐渐往四周弥散，正如之前研究过的δ波包。但是这种弥散不同于δ波，它的弥散速度是有限的。

随着时间的流逝，微观粒子的演化依然满足不确定性原理。但是值得注意的是，在开始演化后，这个量子系统的不确定性关系并不能总是取到等号，而是在以一种双曲函数的趋势逐渐增加的，也就是说，我们对整个系统的信息的了解将会越来越少。

（编辑：汽车网）

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