黎曼度规—创建了现代微分几何的研究

发布时间：2023-04-22 09:12:48 所属栏目：外闻来源：

导读：微分几何是现代数学和物理学的一个重要分支，它研究具有曲率和弯曲性质的几何结构。黎曼度规和里奇张量是微分几何中的两个基本概念，它们为描述和分析曲面和流形上的几何性质提供了基础工具。

有许多方法把上面所

微分几何是现代数学和物理学的一个重要分支，它研究具有曲率和弯曲性质的几何结构。黎曼度规和里奇张量是微分几何中的两个基本概念，它们为描述和分析曲面和流形上的几何性质提供了基础工具。

有许多方法把上面所说的曲率的概念弄精确，而且使之量化，这样，曲面的每一点都有一个数来表示曲面在此点是"如何地弯曲"。这样一来,曲面要有一个黎曼指数,用来定义这条路径的长度。

黎曼度量（Riemannian metric）是微分几何中的一个基本概念，它为空间上的向量赋予长度和角度的概念，从而使得在流形（manifold）这样的几何结构上可以进行距离和角度的度量。

直观上，流形可以被视为在每个点附近看起来像欧几里得空间的空间。换句话说，尽管流形在大尺度上可能具有复杂的形状，但在局部范围内，我们可以用一种欧几里得方程的空间相似性来作为近似几何学的描述它。这种局部与欧几里得空间相似的性质使得流形成为研究各种几何和拓扑问题的理想对象。

切空间（Tangent space）用于描述流形上某一点附近的局部线性近似。简单来说，切空间可以看作是在流形上某一点切合该流形的线性空间，它为我们提供了研究流形上的局部特性的数学工具。

给定一个n维可微流形 M 和其上的一个点 p，切空间 T_pM 是一个 n 维向量空间，包含了所有从 p 出发的切向量。这些向量是从 p 出发的可微曲线在该点的导数，它们描述了流形在 p 附近的局部线性结构。通过切空间，我们可以研究流形函数的导数、积分等数学操作。

给定一个n维可微流形 M，黎曼度量是一个将切空间中的两个向量映射到实数的双线性对称正定函数。更具体地说，黎曼度量 g 是一个将 M 上每一点 p 的切空间 T_pM 中的两个向量 u 和 v 映射到实数的函数，满足以下性质：

曲率这个概念也可以推广到高维情况，这样，我们就可以谈论一个d维黎曼流形的某一点处的曲率。然而，当维数高于2时，流形在一点处弯曲的方式比较复杂，它不是用一个数来表示，而是用里奇张量来表示的。

给定一个n维黎曼流形 (M, g)，其中g是度量张量。黎曼曲率张量R是一个四阶张量，可以表示为 R^i_jkl。里奇张量 R_ij 是从黎曼曲率张量 R^i_jkl 获得的二阶张量，通过对第一个和最后一个指标求和并消去：

R _ = R^k_ikj

里奇张量是对称的，即 R_ij = R_ji。它描述了流形上不同方向的平均曲率，因此反映了流形的局部几何特征。在特殊情况下,如果该流形上的里奇张量是全部点零时,就称为该流形是" Ritchie平坦"。

（编辑：汽车网）

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