两位数学家证明了p=t，实现了数学上的一个突破，它究竟是什么？

发布时间：2023-03-30 13:55:50 所属栏目：外闻来源：

导读：两位数学家马利阿里斯（Malliaris）和希拉（Shelah）发表了一篇60页的论文，在两个截然不同的领域建立连接并解决了两个长期存在的开放性问题：一个是模型论问题；另一个是关于连续统计数不变量的最古老问题之一，即p

两位数学家马利阿里斯（Malliaris）和希拉（Shelah）发表了一篇60页的论文，在两个截然不同的领域建立连接并解决了两个长期存在的开放性问题：一个是模型论问题；另一个是关于连续统计数不变量的最古老问题之一，即p=t。

在集合论中，连续统（Continuum hypothesis）是一个由康托于19世纪提出的假设，它不仅涉及定性到一般的集合论中有限的不可数集合的基本结构的性质。连续假设可以被描述为：不存在大小介于可数集和整个实数集之间的集合。
现在我们有两个无限的基数，我们想知道是否有介于两者之间的东西。是否存在集合X既不能与S一一对应也不能与N一一对应？这就是著名的连续痛假设。

具体来说，可数集合指的是可以一一对应于自然数集合的集合，例如正整数集合、有理数集合等。而实数集合则是一个无限的、不可数的集合，其中包含了所有的实数。连续假设表明，不存在大小介于这两个集合之间的集合。换句话说，实数集合的大小是最小的可数集合，任何类型的介于相对性可数集合和一般化实数二进制集合之间的相对性集合都不存在。

从现在开始，每当我说“集合”时，我指的是一个自然数集合；每当我说“集合族”时，我指的是自然数集合的集合。集以自然数为元素，而族以自然数的集合为元素。N是一个集合，S是一个族。这里还有一些例子。

假设有一个集合，其中每两个集合都是不相交的（它们没有共同的元素）。这样的族能有多大？它可以是无限的。很明显，这个集合也是可数的，它很容易与自然数一一对应。所以它是无限大的，但还没有大到大于N。

还有一个更有趣的挑战。假设两个集合（几乎）是不相交的，即它们只有有限个相同的数。例如，质数集与偶数集几乎不相交，它们只有一个共同的元素2。同样，大于1000的数集与小于万亿的数集几乎是不相交的。

一个简单的想法是考虑所有有限集的族。这似乎是一个相当大的族，当然它的任何两个成员几乎是不相交的（因为它们都是有限的）。这个族有多大？，再一次，它仅仅是可数的。

找到这样一个集合C是一个很好的练习。
最后，让我们考虑集合族的另一个性质。如果我从集合族中选取任意两个集合，其中一个包含在另一个中，这样的族被称为链或塔，它可以有多大？例如，我们可以考虑下面的集合族：{所有的自然数，所有大于0的自然数，所有大于1的自然数，所有大于2的自然数，……}。这是一个无穷集合族，很明显，如果你选择其中的任何两个，你会发现其中一个包含在另一个中。这个族有多大？我可以告诉你，它是可数的。

ZFC代表Zermelo-Fraenkel集合论，是一种公理化集合论的基础。它由Ernst Zermelo和Abraham Fraenkel在20世纪初提出，旨在通过一组公理来确立数学中集合的基本概念和性质。
ZFC公理系统包括九条公理，它们定义了集合、子集、无穷、选择公理等概念，并规定了集合运算的规则。这些公理形成了一种系统，使得可以进行严谨的集合论证明。
ZFC集合论是现代数学的基础之一，被广泛应用于数学的各个领域，如数学分析、代数学、拓扑学等。它不仅为数学提供了一个统一的框架，而且也为计算机科学和理论物理学等其他学科提供了基础。
但其中一些基数拒绝做以下任何努力:表明它们必须是相同的，表明它们必须是不同的，表明这些问题独立于ZFC，等等。事实上，人们对许多基数人一无所知。

我们之前介绍了几乎不相交集合族。我们可以用其他方式扩展这个“几乎”的概念：例如，我们可以说集合A“几乎被包含”于集合B中，如果A的每个成员（除了可能有有限多个例外）都是B的成员。例如，数列1，2，4，8，16，…几乎被包含于偶数集合中，质数几乎被包含于与6互质的数集合中。

如果一个集合族中包含一个无限集合，且几乎所有该族的成员集合都包含这个无限集合，那么我们称这个集合族具有一个线索（thread）。例如，以质数集合为线索，想象一个集合族，其中几乎所有的成员集合都包含了所有的质数（可能会漏掉一些有限的质数），以及其他各种数字。这样的一个集合族将拥有质数作为线索。如果一个集合族没有线索，则称之为线索缺失（threadless）。

这些基数已经存在很长时间了。人们似乎对我们可以解决它们之间的关系失去了信心，因为这个领域里的很多东西都是独立于标准数学公理的，甚至证明这种独立性对于剩下的问题来说也变得越来越难。如果有什么不同的话，很多人（包括Shelah）都期望p＜t。

（编辑：汽车网）

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