薛定谔方程详细求解过程（一）

发布时间：2023-03-13 09:32:24 所属栏目：外闻来源：

导读：我们在初中都学过物理，所有人都知道那些电子无一不在绕着体内一个大得多的坚硬的原子核快速周而复始地运动，有点像太阳系中各个行星绕着太阳转，这个模型被称为“卢瑟福行星模型”。其实在这个模型之前，

我们在初中都学过物理，所有人都知道那些电子无一不在绕着体内一个大得多的坚硬的原子核快速周而复始地运动，有点像太阳系中各个行星绕着太阳转，这个模型被称为“卢瑟福行星模型”。其实在这个模型之前，还有“枣糕模型”，在这个"枣糕模型"中，电子就像大枣一样，一个一个被镶嵌在糕点里，这个模型是汤姆逊（英国物理学家，1856-1940）提出来的。也就是说，在20世纪初，科学家们对原子内部到底是什么样子并不清楚，只能通过各种实验去猜测，卢瑟福（英国物理学家，1871-1937）就做了非常著名的粒子散射实验，得出结论，在原子的中心应该有一个非常坚硬的“核”，而其它地方都是空的，电子则在绕着核旋转，大致就是下面这张图展示的样子。

如果不仔细想的话，行星模型似乎是顺理成章的，因为经典的牛顿力学在解释行星运动规律方面简直是游刃有余，可以说一切尽在掌握中，将行星模型搬到原子内部也是自然而然的事情。但是如果仔细一想的话，这里有一个很大的漏洞，比如地球虽然绕着太阳在转，但是地球并不会掉在太阳上，这个道理很简单，用牛顿力学就能说得清楚，因为太阳与地球有万有引力，而这个引力恰好等于地球绕太阳旋转时的向心力，即：万有引力=向心力，所以地球就可以一直绕着太阳转，没事，不用担心地球会一头撞在太阳上，再说外太空也没有空气阻力，也没有“以太”，是彻底的真空地带，地球不会遇到任何的阻力，总是在绕着太阳旋转。

可是行星模型用在原子内部就出问题了，电子是带负电荷，原子核带正电荷，正电荷与负电荷之间有库伦力，库伦力与万有引力在形式上很像，下面这个表就对库伦力与万有引力做了比对。

按照我们上面说的，库仑力可以充当电子绕核旋转所需的向心力，这样就可以一直旋转下去而不至于撞在原子核上，但问题恰恰就出在这里，地球是整体不带电荷的，太阳也是，引力与电荷无关，但是电子带负电，原子核带正电，库仑力确实可以用作电子绕核的向心力，只不过电子在绕核运动的时候相当于一个变化的电流，并且向外辐射电磁能量，随着电子能量很快被消耗，瞬间电子就会一头撞在原子核上，与原子核拥抱在一起，如果这种情况发生的话，偌大的地球就可能就会缩成一个乒乓球大小的体积，但是现实却是电子永远都在绕着原子核旋转，不会撞在原子核上，地球也没有缩成乒乓球，这又怎么解释呢？

玻尔的解释比较勉强，但是有一个事情玻尔是说对了，就是电子是在特定的轨道上运动的，而这样的轨道不是连续的，是量子化的轨道。至于电子为什么不能掉进核里，还需要等另一个伟大人物的出现。

在我们传统理解中，电子应该是一个小球球，绕着原子核在旋转，其实这种理解是来自我们对宏观物质的观察，自然而然代入的，实际上微观粒子并不是简单的“实心小球”，而是具有“波粒二象性”，通俗的说，微观粒子既可以看成“实心小球”，也可以看成"波"，这个特点与光子一样。最先提出粒子有"波粒二象性"的是一个法国人，名叫德布罗意（法国物理学家，1892-1987），认为所有的物质都具有波动性，被称为“物质波”。既然电子可以被看成一种“波”，那么波动方程在哪里呢？

1926年，薛定谔提出了量子力学最重要的基本方程，薛定谔方程。

现在就到了我们这篇文章的重点了，我们要推导薛定谔方程。

1、既然我们把电子看成了“波”，那我们看看一般的“波”长成什么样子？

我们考察一个最简单的单色平面波，就像上图一样，非常简单，频率，周期，振幅，频率，波长，与普通的波没有什么区别，我们有：

根据爱因斯坦的光量子理论，一个粒子的能量，这里的是普朗克常数，是频率。此外，为了让公式看起来简约，定义约化的普朗克常数。

到此，我们针对最普通的单色平面波的基本公式就完成了推导。

2、对于一个单色平面波，我们通常给出的波函数可以表示成余弦函数，或者正弦函数，类似

这里引入非常著名的欧拉公式

利用欧拉公式，我们就可以把上面的实数波函数，转变成带虚数的指数函数

方程(1) ，同时我们把坐标位置换成

方程（1）是我们把粒子看成“波”之后得出的波函数，但是这个波函数还不是一个运动方程，我们需要波函数的运动方程。

即：我们接着把和负号挪到另一边，就会有：方程（8）

3、现在我们把我们推导出来的方程（4）、（5）、（7）、（8）放在一起

4、好，到这里，我们已经成功了一大半了，不过还差一点。这里既然有能量，动量，那么这两者之间又有什么联系呢？

我们知道，在经典力学中，一个物体的动能，动量

两边平方，在两边都除以，得到也就是方程（9）

（编辑：汽车网）

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