量子杂志：数学如何得到超越性

发布时间：2023-07-07 13:06:05 所属栏目：动态来源：

导读：1886年，数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）有一句名言：“上帝自己创造了整数——其他一切都是人的工作。”事实上，除了用来计数的数字之外，数学家还引入了新的数字集合，并

1886年，数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）有一句名言：“上帝自己创造了整数——其他一切都是人的工作。”事实上，除了用来计数的数字之外，数学家还引入了新的数字集合，并且他们努力理解它们的性质。

尽管每种不同类型的数字都有其特殊的迷人而极为复杂的历史，但直到今天它们都非常熟悉，以至于被一代又一代人教给不同年龄段的学童。整数（Integer）就是正整数，加上负整数和零。有理数（rational number）是那些可以表示为整数商的有理数，例如 3、1/2 和57/22。它们的十进制展开要么终止（1/2= − 0.5），要么最终重复（57/22 = 2.509090909...）。这意味着如果一个数字有小数，并且永远不重复，那就是无理的（irrational）。有理数和无理数共同构成了实数（real number）。高级学生学习复数（complex number），复数是由实数和虚数（imaginary number）组合而成的；例如：i=√−1。

一个数字集合，超越数（transcendentals），并不为人所熟知。矛盾的是，这些数字既丰富又极难找到。它们的历史与一个困扰数学家几千年的问题交织在一起：只使用圆规和直尺，你能画出一个与给定圆面积相同的正方形吗？这个问题被称化圆为方（squaring the circle），只有在代数的发明和对π（任何圆的周长与其直径的比值）有了更深入的理解之后才能得到回答。

发现一组新数字意味着什么？今天我们说，生活在大约公元前五世纪的梅塔蓬图姆（Metapontum）的希帕索斯（Hippasus）发现了物理树。事实上，他的发现是几何的，而不是算术的。他表明，可以找到两条线段，比如正方形的边和对角线，不能分成等长的部分。但是今天我们会说它们的直角三角形的长度不是彼此的对角线的有利倍数。因为对角线周长是直角三角形边长的2倍，√2是对角线无理的。

就仅用圆规和直尺（古代的数学工具）可能的构造而言，如果我们从单位长度的线段开始，则可以构造具有任何正有理长度的线段。但是，我们也可以构造一些无理长度。例如，我们已经看到了如何制作√2；另一个著名的无理数，黄金比例，(1+√5)/2，是边长为 1 的正五边形的对角线长度。

在希腊人首次提出化圆为方问题大约 2000 年后，勒内·笛卡尔（René Descartes）应用了新的代数技术，在他 1637 年的论文《La Géométrie（几何）》中表明，可构造的长度正是那些可以用整数及加法、减法、乘法、除法和平方根的计算等运算来表示的长度。请注意，所有正有理数都有这种形式，就像√2和黄金比例。如果π可以这样写，它最终会让几何学家化圆为方 - 但π并不容易分类。

旺泽尔用他的结果来解决其他经典问题，证明它们无法解决——不可能将某些角度三等分，不可能将立方体加倍（倍积立方），也不可能构造某些正多边形。但由于π的确切曲线性质仍然长期以来是个谜，因此关于化圆为方是否可以的问题仍然悬而未决。

（编辑：汽车网）

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