波传播算法在量子力学中的运用及其数值模拟

发布时间：2023-06-23 12:35:30 所属栏目：外闻来源：

导读：波传播算法是研究电磁场传播的常用方法，量子波传播算法是在传统的波相干传播算法的基础上逐渐进行进一步的改进用以计算通过量子力学中著名的薛定谔方程演化的算法。文章主要介绍了量子波传播算法的大概思路，并以一

波传播算法是研究电磁场传播的常用方法，量子波传播算法是在传统的波相干传播算法的基础上逐渐进行进一步的改进用以计算通过量子力学中著名的薛定谔方程演化的算法。文章主要介绍了量子波传播算法的大概思路，并以一维无限深势阱、一维方势垒、含时薛定谔方程为例给出了通用的分析过程，通过与薛定谔方程的严格解析解进行对比，并给出了微观粒子的概率波函数随时间的演化图像，验证了该算法的正确性有效性。量子波传播算法编程方面并不复杂，具有结构简单、实用性强等特点。

在经典波动问题中，有一个非常重要的计算方法，称作波传播算法（Beam Propagation Method, BPM）。它的提出是 20 世纪研究者为了研究大气中激光传输和波导系统中光传输问题而发展的方法。通过使用各种计算技巧，研究者可以准确地仿真出在多种边界条件下，电磁场的不同极化模式（TE 模式和 TM 模式）在传输中的场分布。这为设计各种集成光学器件等提供了极大便利。

低速运动的微观粒子所遵循的周期性运动规律可以用非线性薛定谔方程描述，这看起来是一个和旋转时间与自由落体位置相互作用有关的偏微分方程。对比电磁场中 TE 模式和 TM 模式的传输问题，如果我们把薛定谔方程中的时间理解为 TE 或者 TM 模式的传播方向，而把薛定谔方程中的位置理解成 TE 或者 TM 模式中与传播方向垂直的横截面坐标空间。那么原则上来说我们是可以用 BPM 算法来展示量子力学描述的微观粒子的运动行为。在接下来的讨论中，我们首先给出契合描述微观粒子运动的量子波传播算法（Beam Propagation Method-Quantum, BPM-Q）描述；然后运用这样的算法得出一维无限深势阱的能量分布规律，证明该算法的正确性；紧接着我们用该算法研究一维单个势垒的情况下，微观粒子的运动规律和能量分布规律；并拓展到当势垒是一维含时的情况下，微观粒子的运动规律；最后是总结。

在研究 BPM 算法时，研究者关注的是电磁场的 TE 模式和 TM 模式。我们令电磁场的传输方向是 z 方向，并且使用缓变包络近似。那么对应的 TE 模式和 TM 模式方程可以写成[4]

其中，fy ( x , y , z ) = A ( x , y , z ) exp ( - iβz)，函数 f = E，H。参数 n 是传播过程中的折射率，而 ne 则是有效折射率，k 则是波数。我们可以发现这样沿着 z 方向传播的 TE 和 TM 模式满足的方程，有对于 z 的一阶偏微商和对于 x 的二阶偏微商。这样的方程形似量子力学中描述微观粒子运动的薛定谔方程。那么接下来我们就从薛定谔方程出发，来描述如何使用 BPM-Q 算法的。

其中，波函数 ψ ( x , t ) 用以描述微观粒子的概率幅。上述的方程是与时间位置有关的偏微分方程。为了描述问题的方便，在文章中的讨论里，我们选择自然单位制，也即

。我们将适用于电磁场传输方程求解的 BPM 算法进行稍微的变形，得到适用于求解薛定谔方程的 BPM-Q 算法。

（编辑：汽车网）

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