费曼：数学和物理学的关系

发布时间：2023-03-31 13:32:39 所属栏目：外闻来源：

导读：在物理学中，我们需要巴比伦式方法，而不是欧几里得或希腊式方法。

在思考数学和物理的应用时可以想到，当复杂的情况涉及到大量数字时，数学很自然会有用。例如，在生物学中，病毒对细菌的作用是不数学的。如果你

在物理学中，我们需要巴比伦式方法，而不是欧几里得或希腊式方法。

在思考数学和物理的应用时可以想到，当复杂的情况涉及到大量数字时，数学很自然会有用。例如，在生物学中，病毒对细菌的作用是不数学的。如果你在显微镜下观察它，一个颤动的小病毒在形状奇特的细菌上找到了一些点——它们都是形状不同的——它可能会把它的DNA推进去，也可能不会。然而，如果我们用数以百万计的细菌和病毒做实验，我们就可以通过平均值来了解很多关于病毒的知识。我们可以用数学方法求平均值，看看病毒是否在细菌中生长，有什么新的菌株和新菌株的百分比；所以我们可以研究基因，突变等等。

我想马上说，数学在物理学中有巨大的应用，特别在讨论复杂情况下的详细现象时，数学使实现基本的规律成为可能。如果我只讨论数学和物理的关系，我会花很多时间来讨论这个问题。但由于这是关于物理定律特性的系列讲座的一部分，我没有时间讨论在复杂情况下会发生什么，但将立即转到另一个问题，规则性即经济学基本定律的特性。

物理学的奇怪之处在于，对于基本定律，我们仍然需要数学。我会举两个例子，一个我们真的不需要数学，另一个我们需要。首先，物理学中有一个定律叫做法拉第定律，它在电解过程中，沉积的物质量与电流和电流作用的时间成正比。这意味着沉积的质量与通过系统的电荷成正比。这听起来很数学，但实际发生的是，穿过导线的每个电子带一个电荷。举个特别的例子，可能要沉积一个原子需要一个电子，所以沉积的原子数必然等于流动的电子数，因此与穿过导线的电荷成正比。因此，这个外表看起来数学定律没有什么深奥的基础，不需要真正的数学知识。每个原子需要一个电子才能沉淀下来，这是数学，但是，我想，这不是我在这里想要讨论的数学问题。

S是太阳，E是地球。如果太阳不在那里，粒子就会从四面八方轰击地球，少数撞击的粒子产生微小的冲击，像砰砰的响声。这不会在任何特定的方向扰动地球，因为从这边来的和从那边来的一样多，从上面来的和从下面来的一样多。然而，当太阳在那里时，从太阳那个方向来的粒子被太阳吸收了一部分，因为其中一些粒子击中了太阳而没有穿过。因此，来自太阳方向的粒子数目比来自其他方向的数目要少，因为它们遇到了一个障碍，即太阳。很容易看出，如果太阳离得越远，则在粒子可能到来的所有方向中，来自太阳方向被去掉的粒子比例就越小。太阳会显得更小——实际上与距离的平方成反比。因此，就会有一个地球向太阳方向的冲力，该力与距离的平方成反比。这将是大量非常简单的作用的结果，即只是撞击，一个接一个从各个方向的撞击。因此，数学关系的奇异性大大降低了，因为其基本作用要比计算距离平方的倒数简单得多。这个方案是利用粒子撞击来进行计算

如果这是唯一一个具有这种特性的规律，那就有趣了，而且也让人烦恼。但事实证明，我们研究得越多，发现的规律就越多，我们对大自然的了解越深，这种疾病就越顽固。我们的每一条定律都是相当复杂而深奥的数学表述。牛顿关于万有引力定律的陈述是相对简单的数学。随着我们的深入，它会变得越来越深奥，越来越困难。为什么? 我一点也不知道。我在这里的目的只是要告诉你们这个事实。这次讲座的责任只是要强调这样一个事实:如果没有对数学的深入理解，就不可能用人们能感受到的方式诚实地解释自然规律的美。我很抱歉，但情况似乎就是这样。

你可能会说，‘好吧，如果没有对于规律的解释，至少告诉我规律是什么。为什么不用文字代替符号告诉我呢? 数学只是一种语言，我希望能够翻译这种语言。”事实上，只要有耐心，我就能做到，我想我在一定程度上做到了。我可以进一步更详细地解释，这个方程意味着，如果距离是两倍，则力是四分之一，以此类推。我可以把所有的符号转换成文字。换句话说，当外行们都坐在那里满怀希望地等着我解释一些事情时，我可以友好地对待他们。不同的人因为其用外行的语言向外行解释这些困难而深奥问题的技能而有不同的名声。外行会一本书接一本书地寻找，希望能够避免最终出现的复杂问题，即使有了最好的解释者也不例外。当他读下去的时候，他发现自己越来越困惑，一个又一个复杂的陈述，一个又一个难以理解的东西，所有这些显然都是彼此无关的。事情变得模糊，他希望也许在其他一些书中会有一些解释.......这个作者还差一点——也许另一个作者会说对。

令人难以置信的是，我可以证明，如果力指向太阳，在相等时间内将扫出相等的面积。如果可以的话，我将做一个演示来向你们展示这两件事是等价的，这样你们就能欣赏到这不仅仅是关于两个定律的陈述。我要证明这两个定律是联系在一起的，所以仅仅是推理就能把你从一个引向另一个，而数学就是有组织的推理。然后你就会欣赏到这些陈述之间的关系的美。我要证明这个关系，即如果力指向太阳，在相等时间内将扫出相等的面积。

记住，1-2距离和2-3距离是相等的。问题是，这两个面积相等吗? 考虑由太阳和点1和2组成的三角形。它的面积是多少? 它是以1-2为底，乘以从基线到S的垂线高度的一半。另一个三角形呢，从2运动到3的三角形? 它的面积是底2-3乘以到S的垂线高度的一半。这两个三角形高度相同，而且，正如我指出的，底相同，因此它们的面积相同。到目前为止一切顺利。如果没有来自太阳的力，在相同时间内将会扫出相同的面积。但是有一种来自太阳的力。在间隔1-2-3期间，太阳在不同的方向上拉动并改变运动。为了得到一个很好的近似值，我们将取2处为中心位置或平均位置，并假设在间隔1-3期间的整个效果是在直线2-S方向上以一定的数量改变运动(图4)。

牛顿在他的书中把所有的证明都做成几何形式。今天我们不使用这种推理。我们使用符号作一种分析推理。使用几何方法需要精巧地画出正确的三角形、注意到面积的关系，并且需要弄清楚如何做到这些。但是，使用分析方法已经对此有所改进，分析方法速度更快、效率更高。我想展示一下使用现代数学的符号的分析是什么样子的，你其他什么都不用做，只需要写很多符号就能算出来。

我们想要讨论面积变化的快慢，我们用Ȧ表示。面积随半径摆动而变化，与半径成直角的速度分量乘以半径，告诉我们面积变化的快慢。所以这是径向距离乘以速度（或者说距离的变化率）这个乘积的分量。

现在的问题是面积的变化率本身是否变化。原理是，面积的变化率不应该改变。所以我们再微分一次，这意味着一些关于把点放在正确位置的小技巧，就这些。你必须学会这些技巧; 这只是人们发现的对这种事情非常有用的一系列规则。我们写:

第一项表示取速度在与其成直角处的分量。它是零，这是因为速度与自身方向相同。加速度，就是二阶导数，r加上两点，或者说速度的导数，就是力除以质量。

这就是说面积变化率的变化率是力在与半径成直角方向的分量，但如果力是沿半径方向的

就像所牛顿说的那样，那么就没有与半径成直角的力，这就意味着面积的变化率不变。这仅仅说明了使用不同种类符号的分析的力量。牛顿或多或少知道怎么做，只是用了不同的符号; 但他把所有东西都写成几何形式，因为他想让人们能读懂他的论文。他发明了微积分，也就是我刚才展示的那种数学。

（编辑：汽车网）

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