数学的任何基础都将只是一座纸牌屋

发布时间：2023-08-02 10:57:42 所属栏目：动态来源：

导读：哥德尔公式证明了传统逻辑学家的一切努力都是徒劳无功的：现代数学的任何基础都必定只是理想主义者的一座大名鼎鼎的纸牌屋。我们永远不可能证明这些基础无法动摇。这就是哥德尔（第二）不完备性定理。

在20 世纪初

哥德尔公式证明了传统逻辑学家的一切努力都是徒劳无功的：现代数学的任何基础都必定只是理想主义者的一座大名鼎鼎的纸牌屋。我们永远不可能证明这些基础无法动摇。这就是哥德尔（第二）不完备性定理。

在20 世纪初，数学正处于危机之中。伯特兰·罗素刚刚发表了以他名字命名的悖论。这个具有毁灭性的悖论表明，要将数学建立于坚实的基础之上实在无比困难。在缺少这种坚实基础的情况下，数学就像一座纸牌屋，稍有触碰便会轰然倒塌。

01 算法基础

戴维·希尔伯特也意识到了这一点。加固这座纸牌屋必须成为逻辑学家和数学家的最优先目标。弗雷格、康托尔、皮亚诺、罗素、怀特海、勒贝格、策梅洛、弗兰克和塔斯基，他们只是参与这项艰巨任务的伟大智者之中的一部分人。数十年来的工作累积成了对外行来说越来越晦涩难懂的著作。但希尔伯特仍未放弃。“我们必须知道，我们必须知道”，他在广播中发出了这一宣言。

艾伦·图灵的基本定理是理论计算机科学的基础，它证明了所谓通用图灵机的存在性。这种通用图灵机可以模拟任意图灵机，因此它能计算哥德尔的一般递归函数以及丘奇的 λ 演算可以计算的所有东西。换句话说，存在这样一台机器，只要让它执行正确的代码，它就能够完成可以想象的任何（符合物理的）计算。

丘奇 – 独立论题对新技术产业有着深远的影响。这是因为，从计算的意义上来说，既然我们的大脑不可能超越通用图灵机，那么我们不如大力投资通用图灵机的生产。这些名称各异的通用图灵机已经占据了我们的日常生活。我们今天把它们叫做计算机、平板电脑或者智能手机。

02 “模式”是什么？

无论是在数学、物理还是技术上，图灵机都有着众多应用。但我讨论图灵机不是出于这些原因，而是出于哲学上的原因。这是因为在认识论的意义上，要严格定义数学家经常粗略谈到的“模式”或“规则性”的概念，图灵机似乎是最完美的工具。

考虑以下数列：1, 2, 4, 8, 16。你知道下一项是什么吗？你很可能会猜 16 的下一项是 32，甚至对这项猜测特别有自信。但为什么呢？我只给出了这个数列的一个非常有局限性的抽样——只有 5 个数据点，为什么它之后的项看起来那么容易预测？你对自己猜测的高置信度又有何依据？

你脑海中的论证大概是这样的：1 乘以2 就能得到 2，将 2变成 4 也是乘以 2，从 4 到 8、从 8 到 16 也是这样。所以问题中的数列就应该是将前一项乘以 2 得到的。这个模式这么规则而简单，似乎必定会延伸下去。换种说法，存在一个非常简单的算法，也就是计算的规则，可以产生这个数列中的每一项。根据奥卡姆剃刀（我们之后会再谈到），算法如此简洁，似乎就是一种几近决定性的论据。

1963 年，数学家安德烈·柯尔莫哥洛夫做出了肯定的回答。柯尔莫哥洛夫依靠哥德尔、丘奇和图灵关于计算的概念，定义了一种方法，用于衡量类似 1, 2, 4, 8, 16, 32 和 1, 2, 4, 8, 16, 31 这种数列的复杂度。这种复杂度今天又被称为柯尔莫哥洛夫复杂度，它已成为可计算性理论中的基础概念。

但柯尔莫哥洛夫并不是第一个想到这个复杂度概念的人。所罗门诺夫对此知道得更早，在 1960 年就发表了相关研究的初步报告。所以，把这个概念叫做所罗门诺夫复杂度才更准确！然而，大概是因为所罗门诺夫不巧将他的复杂度与在美国被认为是异端的贝叶斯主义联系在了一起，所以最终还是俄国的柯尔莫哥洛夫的研究结果被广泛阅读和引用。讽刺的是，所罗门诺夫在 2003 年被授予柯尔莫哥洛夫奖，获奖原因正是他发现了柯尔莫哥洛夫的复杂度！

（编辑：汽车网）

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